二つの工房、同じ注文
前提になる言葉を先に、その言葉を使う説明を後に並べました。知っているところは飛ばせます。
1番目から読んでみる → 物語へ戻るLeanの主張を読む
高校
対象・条件・結論を分けて読みます。
累乗と正の整数
中学校
累乗は同じ数を繰り返しかけること。正の整数は1から。
素数
中学校
2以上で、正の約数が1と自分自身だけの数。
余りで比べる・合同
中学校
数が違っていても、割った余りが同じなら合同です。
時計の算術
中学校
余りの集合を決め、その中だけで計算する世界を作ります。
足し算とかけ算の仕組み
中学校
足し算とかけ算の規則をそろえると、別の数の世界を同じ言葉で比べられます。
仮の反例とフライ小包
高校
ないはずの解を仮に置き、数と条件の証拠をまとめます。
関数
高校
関数は、入れてよい値のそれぞれに出力を一つ決めます。
方程式で決まる曲線
高校
方程式を満たす座標の組を集めたものが、ここでの曲線です。
曲線の足し算
大学
曲線の点は足し算ができます:二点を通る直線が、その和を決めます。
点の数え上げ——素数での曲線の数
大学院
曲線を素数で割った余りの世界へ置き、その有限の点の集合を数えます。
複素数と上半平面
大学
実数二つで複素数を表し、実軸より上にある点を考えます。
変換としての対称性
高校
形や計算の規則を保ったまま、対象を入れ替える変換。
モジュラー形式
大学
複素数を返し、変換と滑らかさについて厳密な規則を持つ関数。
重さとレベル
大学
重さは変換の規則、レベルはどの変換に規則を求めるかを指定します。
カスプ形式
大学
モジュラー形式に、すべての尖点で0へ近づく条件を加えたもの。
係数という数のデータ
大学
関数を展開して、数の列として読むときの一つひとつの数。
共通因子と互いに素
中学校
互いに素とは、1より大きな正の共通の約数がないこと。
正規化された固有形式
大学
係数の列に追加の算術規則があり、最初の係数を1にそろえます。
曲線のモジュラー性
大学
曲線の算術データと係数が一致する、条件つきの形式を見つけること。
残余モジュラー性
大学
余りの世界へ移した算術データが、形式の係数と一致すること。
ベクトルと部分空間
大学
足し算と数倍のできる対象。部分空間はその計算で外へ出ません。
ねじれ点E[ℓ]
大学
足し算をℓ回するとゼロになる点々が、曲線の算術を有限の檻に納めます。
ガロア表現
大学
数の計算を保つ対称性を、ベクトルの変換として記録します。
既約性
大学
すべての対称性で保たれる部分空間は、0だけか全体だけ。
二次から三次の判別式
高校
一つの式が、方程式の曲線がきれいか、特異点を持つかを証明します。
量c₄——係数から指紋へ
大学
係数の短い多項式から、曲線の壊れ方の激しさを伝える数を作ります。
半安定性
大学
素数ごとに余りの世界へ移したときの曲線のふるまいを制限します。
持ち上げ
大学
追加条件のある定理で、余りの情報から元の豊かな情報へ進みます。
時計のわり算
高校
時計の大きさと互いに素なら、余りの世界で本物の逆元を持ち、a · a⁻¹ = 1。
門が一つの環
大学院
局所環は極大イデアルを一つだけ持ち、その外はすべて可逆です。
いつまでも育たない環
大学院
イデアルの上昇列は必ず止まります。環の内側に無限の塔はありません。
変形環と普遍性
大学院
条件に合う持ち上げを、一つの代数的な対象からの写像で整理します。
ヘッケ環
大学院
カスプ形式への特別な操作と、それが持つ算術の情報を集めます。
全射と同型の違い
大学
全射はすべての出力先に届く写像。同型には、構造を保つ対応と逆対応があります。
離散付値環
大学院
主イデアル環で局所、しかも体ではない環:本物の門と一つの物差しの元。
R = T——二つの工房をつなぐ等式
大学院
持ち上げから作る環と、ヘッケ作用素から作る環を、一つの全射の写像で結びます。