高校
時計の大きさと互いに素なら、余りの世界で本物の逆元を持ち、a · a⁻¹ = 1。
0から8の9目盛りの時計で、2×5=10は1の位置。だから5をかけると、2をかける操作を元に戻せます。3の倍数は0、3、6にしか着かず、1には着きません。
上の具体例を見ながら考えよう。何度やり直しても大丈夫。
掛け算を元に戻すには、その世界で積が1になる相手を使います。10を9で割ると余り1です。
この確認では、説明に合う答えを選べました。漫画の中でも、同じ考え方を探してみよう。
2×5=10が1の位置になるから。 掛け算を元に戻すには、その世界で積が1になる相手を使います。10を9で割ると余り1です。
9の時計では技は弱まりますが無くなりはしません:そこでは2⁻¹ = 5、なぜなら2 × 5 = 10 = 1(gcd 2 9 = 1)。でも3には逆元がありません:3の倍数は必ず0・3・6に着地し、1には着地しない——gcd 3 9 = 3だからです。
Mathlib · db584cd · Basic.lean
/-- The inversion on `ZMod n`.It is setup in such a way that `a * a⁻¹` is equal to `gcd a.val n`.In particular, if `a` is coprime to `n`, and hence a unit, `a * a⁻¹ = 1`. -/def inv : ∀ n : ℕ, ZMod n → ZMod n| 0, i => Int.sign i| n + 1, i => Nat.gcdA i.val (n + 1)instance (n : ℕ) : Inv (ZMod n) :=⟨inv n⟩
invの背後には拡張ユークリッドの帳簿(Nat.gcdA)があります:a · val + k · n = gcdとなるsを見つけ、その等式を時計の中でnで割ればa * a⁻¹ = gcdが残ります。単元——本物の逆元を持つ要素——という言葉は、アイゼンシュタインの世界の六つの回転にも、頂上の世界の可逆な要素にも、同じ言葉として使われます。このページのあとは、可逆とはどこでも一つの意味です。
時計のわり算
まず「3段階で考えよう」を上から読みます。Leanの原文は、その後でも大丈夫です。
時計の大きさと互いに素なら、余りの世界で本物の逆元を持ち、a · a⁻¹ = 1。
このページの「この言葉の前に」に、先に知ると読みやすい言葉があります。
9の時計では技は弱まりますが無くなりはしません:そこでは2⁻¹ = 5、なぜなら2 × 5 = 10 = 1(gcd 2 9 = 1)。でも3には逆元がありません:3の倍数は必ず0・3・6に着地し、1には着地しない——gcd 3 9 = 3だからです。
閉じれば、読んでいた場所に戻れます。このページに合わせて用意したヒントです。
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