3段階で考えよう
- 特異点のないワイエルシュトラス曲線で、PとQを通る直線の三つ目の交点をRとすると、P + QはRそのものではなく−Rです。短い形y² = x³ + Ax + Bではx軸で反転します。一般の形では−(x,y) = (x, −y − a₁x − a₃)。同じ点どうしでは接線を使い、互いに逆の点の和は無限遠点という単位元です。
- 表示のinstanceは、数の世界の対称性の俳優たちが曲線に触れることを許します:σ • PはPの座標にσを適用して別の点を作ります。これはDistribMulActionです——1は点をそのままにし、σをしてからτをするのは一つのまとまったシャッフルです。
- 最後の行が、このあとのすべてのちょうつがいです:smul_addはσ • (P + Q) = σ • P + σ • Qを、もとの写像のmap_addで証明しています。数の世界の対称性が、曲線自身の足し算を尊重する——まさに、表現が曲線を記録できるようになる一致です。
小さな例で確かめる
y² = x³ − x + 1で、P = (0,1)とQ = (1,1)を結ぶ直線はy = 1。三つ目の交点はR = (−1,1)なので、P + Q = −R = (−1,−1)です。三つ目の交点を反転せずに答えると、和を間違えます。