高校
一つの式が、方程式の曲線がきれいか、特異点を持つかを証明します。
自分と交わるところなど、特別な異常点がある曲線もあります。式から計算するΔという数で判定します。表示の形ではy²=x³はΔ=0、y²=x³−xはΔ=64です。
上の具体例を見ながら考えよう。何度やり直しても大丈夫。
前者は(0,0)に特異点があります。後者は有理数上でΔ=64。絵の出来ではなく、式から決まる値を見ます。
この確認では、説明に合う答えを選べました。漫画の中でも、同じ考え方を探してみよう。
y²=x³。 前者は(0,0)に特異点があります。後者は有理数上でΔ=64。絵の出来ではなく、式から決まる値を見ます。
y² = x³ − xではΔ = 64なので、ℚ上で特異点はありません。y² = x³ではΔ = 0で、(0,0)が特異点です。曲線の方程式についての判定であり、どの二点も重なるという意味ではありません。
Mathlib · db584cd · Weierstrass.lean
/-- The discriminant `Δ` of a Weierstrass curve. If `R` is a field, then this polynomial vanishesif and only if the cubic curve cut out by this equation is singular. Sometimes only defined up tosign in the literature; we choose the sign used by the LMFDB. For more discussion, see[the LMFDB page on discriminants](https://www.lmfdb.org/knowledge/show/ec.discriminant). -/def Δ : R :=-W.b₂ ^ 2 * W.b₈ - 8 * W.b₄ ^ 3 - 27 * W.b₆ ^ 2 + 9 * W.b₂ * W.b₄ * W.b₆
説明文が述べる等価性は、Rが体のときの事実です。Δはb₂・b₄・b₆・b₈の多項式で、近くの補題c_relationがΔとc₄・c₆を結びます。半安定性のページは、この同じΔを再び使います。
二次から三次の判別式
まず「3段階で考えよう」を上から読みます。Leanの原文は、その後でも大丈夫です。
一つの式が、方程式の曲線がきれいか、特異点を持つかを証明します。
このページの「この言葉の前に」に、先に知ると読みやすい言葉があります。
y² = x³ − xではΔ = 64なので、ℚ上で特異点はありません。y² = x³ではΔ = 0で、(0,0)が特異点です。曲線の方程式についての判定であり、どの二点も重なるという意味ではありません。
閉じれば、読んでいた場所に戻れます。このページに合わせて用意したヒントです。
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