証明のさんぽ
64語ぜんぶ、組み立て順に。ここに飾りは一つもありません:どの段も荷重を支えています。頂上はR = T。章への脱線は許可しますが、経路の完全性は交渉の余地がありません。
1番目から読んでみる → 解説ページの一覧Leanの主張を読む
高校
対象・条件・結論を分けて読みます。
累乗と正の整数
中学校
累乗は同じ数を繰り返しかけること。正の整数は1から。
素数
中学校
2以上で、正の約数が1と自分自身だけの数。
共通因子と互いに素
中学校
互いに素とは、1より大きな正の共通の約数がないこと。
偶数・奇数と場合分け
高校
数を偶数と奇数に分けるのは、この証明そのものが使う最初の場合分けです。
仮の反例とフライ小包
高校
ないはずの解を仮に置き、数と条件の証拠をまとめます。
関数
高校
関数は、入れてよい値のそれぞれに出力を一つ決めます。
余りで比べる・合同
中学校
数が違っていても、割った余りが同じなら合同です。
時計の算術
中学校
余りの集合を決め、その中だけで計算する世界を作ります。
4の時計と平方数
中学校
正方形になる数は、4の時計で0か1に座ります。2には決して座りません。
時計のわり算
高校
時計の大きさと互いに素なら、余りの世界で本物の逆元を持ち、a · a⁻¹ = 1。
足し算とかけ算の仕組み
中学校
足し算とかけ算の規則をそろえると、別の数の世界を同じ言葉で比べられます。
分数と有理数
高校
割り算は分数を残すことがあります。分数を含む数の世界が有理数ℚです。
大きさだけを見る
中学校
絶対値|c|は大きさだけを見ます:ゼロからの距離です。
9を法とする三乗
高校
三乗は、9の時計では0・1・8のどれかに落ちます。三の場合の物語の最初の一歩です。
単元つきのより広い網
大学
降下のために、単元uのかかったもっと大きな主張を、まず証明します。
いちばん小さい解を選ぶ
大学
仮の解を、λがcを割る回数で順位づけると、いちばん小さいものが必ずあります。
アイゼンシュタインの世界の三つの因子
大学
1の原始3乗根が入った世界では、三乗の和が三つの因子に分かれます。
同じ対象についての矛盾
高校
同じfについて、f ≠ 0とf = 0の証拠は両立しません。
必ず終わる階段
大学
必ず小さくなる目盛りは、小さくなり続けられません。フルマーの降下法です。
四乗は二乗にたためる
高校
四乗は正方形の正方形です。それで指数4の場合は、一つ下の指数の等式にたためます。
辺が整数の直角三角形
高校
ピタゴラス数:3・4・5の家族で、x² + y² = z²が成り立ちます。
整った三つ組は因子を持たない
高校
互いに素な脚を持つ三つ組には、m² − n²と2mnのレシピがあります。
事件簿の等式をいちどに束ねる
大学
Fermat42が容疑者にいちど名前をつけます:非ゼロのa・bとa⁴ + b⁴ = c²。
また、いちばん小さい容疑者を選ぶ
大学
Fermat42の解を|c|で順位づけると、いちばん小さいバッジが必ずあります。
容疑者の内側の二つの直角三角形
大学
ピタゴラス数の分類が、a⁴ + b⁴ = c²をより小さい平方のつらなりへ変えます。
もっと小さい容疑者が現れる
大学
m・r・sはみな平方数になり、|i| < |c|の新しい解が矛盾を呼びます。
方程式で決まる曲線
高校
方程式を満たす座標の組を集めたものが、ここでの曲線です。
二次から三次の判別式
高校
一つの式が、方程式の曲線がきれいか、特異点を持つかを証明します。
量c₄——係数から指紋へ
大学
係数の短い多項式から、曲線の壊れ方の激しさを伝える数を作ります。
曲線の足し算
大学
曲線の点は足し算ができます:二点を通る直線が、その和を決めます。
ねじれ点E[ℓ]
大学
足し算をℓ回するとゼロになる点々が、曲線の算術を有限の檻に納めます。
ワイエルシュトラスの標準形
大学
ここで使う曲線は、五つの係数で決まる標準の形に整えます。
等式から曲線へ
大学
禁止された等式が、ワイエルシュトラス曲線の具体的な係数を与えます。
変換としての対称性
高校
形や計算の規則を保ったまま、対象を入れ替える変換。
行列という変換
高校
二行二列の数の表が変換を表し、行列どうしの掛け算もできます。
ベクトルと部分空間
大学
足し算と数倍のできる対象。部分空間はその計算で外へ出ません。
ガロア表現
大学
数の計算を保つ対称性を、ベクトルの変換として記録します。
既約性
大学
すべての対称性で保たれる部分空間は、0だけか全体だけ。
形式と表現をつなぐ
大学院
曲線のデータと形式のデータが、余りの世界の中で一致することを一つの主張にまとめます。
半安定性
大学
素数ごとに余りの世界へ移したときの曲線のふるまいを制限します。
点の数え上げ——素数での曲線の数
大学院
曲線を素数で割った余りの世界へ置き、その有限の点の集合を数えます。
複素数と上半平面
大学
実数二つで複素数を表し、実軸より上にある点を考えます。
モジュラー形式
大学
複素数を返し、変換と滑らかさについて厳密な規則を持つ関数。
重さとレベル
大学
重さは変換の規則、レベルはどの変換に規則を求めるかを指定します。
スラッシュ作用——重さの正確な規則
大学院
変換の法則は、束ねた一つの等式です:許されたγすべてに対して f ∣[k] γ = f。
行列の合同部分群
大学
レベルは、保つ行列の変換と、余りの世界で0に送られる変換を指定します。
カスプ形式
大学
モジュラー形式に、すべての尖点で0へ近づく条件を加えたもの。
誰もいない部屋
証明レベル
ある重さとレベルの空間では、すべてのカスプ形式が0だと定理で示します。
係数という数のデータ
大学
関数を展開して、数の列として読むときの一つひとつの数。
正規化された固有形式
大学
係数の列に追加の算術規則があり、最初の係数を1にそろえます。
曲線のモジュラー性
大学
曲線の算術データと係数が一致する、条件つきの形式を見つけること。
残余モジュラー性
大学
余りの世界へ移した算術データが、形式の係数と一致すること。
持ち上げ
大学
追加条件のある定理で、余りの情報から元の豊かな情報へ進みます。
門が一つの環
大学院
局所環は極大イデアルを一つだけ持ち、その外はすべて可逆です。
いつまでも育たない環
大学院
イデアルの上昇列は必ず止まります。環の内側に無限の塔はありません。
離散付値環
大学院
主イデアル環で局所、しかも体ではない環:本物の門と一つの物差しの元。
導手とレベル下げ
大学
注意すべき素数を記録し、証明済みの条件でレベルの素因子を制限します。
変形環と普遍性
大学院
条件に合う持ち上げを、一つの代数的な対象からの写像で整理します。
ヘッケ環
大学院
カスプ形式への特別な操作と、それが持つ算術の情報を集めます。
全射と同型の違い
大学
全射はすべての出力先に届く写像。同型には、構造を保つ対応と逆対応があります。
パッチング
大学院
部品だけでなく接続の条件もそろえ、一つの対象を作ります。
R = T——二つの工房をつなぐ等式
大学院
持ち上げから作る環と、ヘッケ作用素から作る環を、一つの全射の写像で結びます。
公理と証明の検査
証明レベル
定理の証明が、どの基礎的な仮定に依存するかを調べます。