3段階で考えよう
- 写像には入力と出力先があります。全射とは、出力先のどの要素にも少なくとも一つの入力から届くこと。
- 違う入力が同じ出力へ届いても構いません。その重複を除く性質が単射です。
- 同型には追加の構造と逆写像が必要。全射だけで同型を示せたことにはなりません。
小さな例で確かめる
二枚の違う注文票が同じトレーへ届いても、全射と矛盾しません。すべてのトレーに届けばよいのです。
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全射と同型の違い
全射はすべての出力先に届く写像。同型には、構造を保つ対応と逆対応があります。
まず、身近な例で
注文Aはトレー1へ、BもCもトレー2へ。すべてのトレーに届くので全射です。違う注文が同じトレーに届いても構いません。届かないトレーがないことが大切です。
ちいさな確認：考えてみよう
上の具体例を見ながら考えよう。何度やり直しても大丈夫。
二つのトレーに、どちらも注文が届いています。全射では、同じ所に届く入力があっても構いません。届かない出力がないことが大切です。
この確認では、説明に合う答えを選べました。漫画の中でも、同じ考え方を探してみよう。
答えと考え方を読む
はい、この写像は全射。 二つのトレーに、どちらも注文が届いています。全射では、同じ所に届く入力があっても構いません。届かない出力がないことが大切です。
Leanの定義・原文の抜粋
Mathlib · db584cd · Defs.lean
def Bijective (f : α → β) :=Injective f ∧ Surjective f
このLeanの読み方
この定義はInjectiveとSurjectiveを∧で組み合わせます。工房の全射という結論が、全単射より弱いと分かります。