廊下が消えるホテル
逆向きの廊下が打ち消し合った。ピップは両方とも予約済みだった。
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この話で持ち帰ること
平方の差の公式で、真ん中の2項が消える理由を言える。
一つずつ読めば大丈夫。時間制限はありません。困ったら、いつでも「わからない」を開けます。
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まず、言葉の意味から
恒等式は、許されたどの値でも成り立つ等式です。解を探す方程式と区別します。因数分解は、和や差を積の形に直すことです。
「実数」って何？
数直線上に表せる数が実数です。整数、分数、√2のような数も含みます。ケーキの絵が正の長さを使っていても、計算の規則で示した公式は、この範囲の数に使えます。
前の考え方が気になったら：借金を食べたハト · 消えたケーキの細切れ事件
あやしい作戦
ピップは縦a + b、横a − bの部屋を注文。「廊下も二本お願いします」
積を、符号つきの4項に開こう。面積の絵を使うのはa ≥ b ≥ 0のとき。
見つかった手がかり
ミカが請求書を展開。a² − ab + ba − b²。廊下の二項には、逆の符号がついている。
真ん中の2項は、打ち消し合う相手。−ab + ba = 0。
事件のひっくり返し
ba = abだから真ん中が消えた。残るのはa² − b²。ピップ「ぼくの荷物、どこに置こう？」
同じ等号を逆から読めば因数分解。長さの条件を満たすときは、L字を長方形に並べ替えられる。
数字を変えて実験
数を変えて、感覚をつかもう。数値の確認は、すべての値についての証明とは別です。
証明の一歩 1 / 3
a − bはa + (−b)のこと。分配するとa² − ab + ba − b²です。
図は、表示した論証の手順を表します。数値の例だけで、仮定やすべての場合の証明の代わりにはしません。
一歩ずつ、証明しよう
主張と条件
すべての実数a、bで(a + b)(a − b) = a² − b²。長方形として描く場合は、さらにa ≥ b ≥ 0とします。
- a − bはa + (−b)のこと。分配するとa² − ab + ba − b²です。
- 交換法則で−ab + ba = 0。a² − b²が残ります。
- 等号を逆から読めばa² − b²の因数分解です。割り算はしていないので、a = bでも使えます。
ピップが、また何か思いついた
a = bのとき、両辺をa − bで割っていい？
選択肢の説明： いい。同じ記号なら、いつでも消せる。
a = bなら因子は0。恒等式は成り立ちますが、その割り算はできません。
選択肢の説明： だめ。0で割ることになる。
そのとおり。等式が正しくても、操作には「0ではない」という追加条件が要ることがあります。
どこまで、つながった？
小さな確認を2つしたあと、自分で振り返ります。ヒントを見ても、やり直しても大丈夫。ここで確かめるのは、この2問についてです。
いまは、どんな感じ？（任意）
この話の振り返り記録
最初の答えと、見直したあとの答えをここにまとめます。
次は、どの「なぜ？」へ？
点数も、閉じた扉もありません。いつでも定義へ戻れます。
ここで読むのは学習用の論証と数値実験で、Leanの実行ではありません。先の解説ページでは、形式的な原文と説明を区別しています。