借金を食べたハト
借金が消えるとうれしい。でも、うれしさだけでは証明にならない。
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この話で持ち帰ること
マイナス同士の積がプラスになる理由を、「反対の数」で説明できる。
一つずつ読めば大丈夫。時間制限はありません。困ったら、いつでも「わからない」を開けます。
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まず、言葉の意味から
aと足して0になる数が「反対の数」−aです。専門用語では加法逆元。反対の数の反対はaに戻ります。
「実数」って何？
数直線上に表せる数が実数です。整数、分数、√2のような数も含みます。ケーキの絵が正の長さを使っていても、計算の規則で示した公式は、この範囲の数に使えます。
前の考え方が気になったら：消えたおやつの請求書
あやしい作戦
ピップが借用書をぱくり。「マイナスかけるマイナス、おいしい！」ミカ「紙がなくても通じる理由が必要だよ」
数と反対の数は打ち消し合う。分配するとabとa(−b)が、そのペアになる。
見つかった手がかり
bと−bを並べると0。組ごとa倍しても0のまま。
その規則のaを−aに置き換える。欲しい積は、(−a)bの反対の数だ。
事件のひっくり返し
分配すると、打ち消し合う相手が見えた。ピップはフォークを置いた。決め手は食欲ではなく、計算の規則だった。
負の積の、さらに反対へ。2回向きを変えると、abに戻る。
数字を変えて実験
数を変えて、感覚をつかもう。数値の確認は、すべての値についての証明とは別です。
証明の一歩 1 / 3
分配法則からab + a(−b) = a(b + (−b)) = a·0 = 0。したがってa(−b) = −(ab)。同じように(−a)b = −(ab)です。
図は、表示した論証の手順を表します。数値の例だけで、仮定やすべての場合の証明の代わりにはしません。
一歩ずつ、証明しよう
主張と条件
すべての実数a、bで、(−a)(−b) = abです。
- 分配法則からab + a(−b) = a(b + (−b)) = a·0 = 0。したがってa(−b) = −(ab)。同じように(−a)b = −(ab)です。
- 最初の規則のaを−aに置き換えます。(−a)(−b) = −((−a)b)。
- (−a)b = −(ab)を入れると、−(−(ab)) = ab。反対の数の反対は、もとの数です。
ピップが、また何か思いついた
分数にも同じ証明が使えるのは、なぜ？
選択肢の説明： 分数でも分配法則と加法逆元の規則が使えるから。
そのとおり。a、bの大きさや整数であることではなく、法則を使いました。
選択肢の説明： (−2)(−3)を確かめたので、全例を証明したから。
一例は答えの確認になりますが、すべての実数についての証明にはなりません。
どこまで、つながった？
小さな確認を2つしたあと、自分で振り返ります。ヒントを見ても、やり直しても大丈夫。ここで確かめるのは、この2問についてです。
いまは、どんな感じ？（任意）
この話の振り返り記録
最初の答えと、見直したあとの答えをここにまとめます。
次は、どの「なぜ？」へ？
点数も、閉じた扉もありません。いつでも定義へ戻れます。
ここで読むのは学習用の論証と数値実験で、Leanの実行ではありません。先の解説ページでは、形式的な原文と説明を区別しています。