正方形になったハト階段
ピップが毎日、奇数個のタイルを足す。階段の中から正方形が現れた。
この話の式を見る
全8話の 8 話目
この話で持ち帰ること
最初の一段と、いつでも使える次の一歩の両方が必要な理由を言える。
一つずつ読めば大丈夫。時間制限はありません。困ったら、いつでも「わからない」を開けます。
読む前は、どんな感じ？（任意）
読む順番を見る
読みたいところへ直接進む
まず、言葉の意味から
正の奇数は、0以上の整数kを使って2k + 1と書ける数。最初のn個の正の奇数は2n − 1で終わります。nは1以上の整数です。
前の考え方が気になったら：消えたケーキの細切れ事件
あやしい作戦
1日目はタイル1個。2日目は3個発見。「ぼくの階段、食いしん坊だな」
タイル1個から出発。1 = 1²。階段には、まず最初の一段がいる。
見つかった手がかり
ミカが最初の1個のまわりに3個を置くと2 × 2。次の5個で3 × 3。ピップ「インテリアの才能では？」
一般の次の一歩。n × nの正方形に、2n + 1個のふちを足す。二本の腕と角1個。
事件のひっくり返し
L字のふちには二本の腕と一つの角。階段の正体は、育っていく正方形だった。
出発点と、いつでも使える次の一歩で、どのnにも届く。nを動かすのは例の確認で、この理由の代わりではないよ。
数字を変えて実験
数を変えて、感覚をつかもう。数値の確認は、すべての値についての証明とは別です。
証明の一歩 1 / 3
n = 1では、和は1 = 1²です。
図は、表示した論証の手順を表します。数値の例だけで、仮定やすべての場合の証明の代わりにはしません。
一歩ずつ、証明しよう
主張と条件
すべての正の整数nで、最初のn個の正の奇数の和はn²です。
- n = 1では、和は1 = 1²です。
- 最初のn個の和がn²だとします。次の奇数は2n + 1。足すとn² + 2n + 1 = (n + 1)²になります。
- 出発点と、何度でも使える次への一歩で、すべての正の整数の場合が証明できました。これが数学的帰納法。数例を試しただけ、とは違います。
ピップが、また何か思いついた
n = 1、2、3だけ確認すれば、すべてのnの証明になる？
選択肢の説明： なる。3例で規則は確定する。
規則は主張の予想に役立ちます。その先まで保証するのが、帰納法の一歩です。
選択肢の説明： ならない。どの次の一歩も進める理由が必要。
そう。出発点と一般の次の一歩を用意したので、どの正の整数にも届きます。
どこまで、つながった？
小さな確認を2つしたあと、自分で振り返ります。ヒントを見ても、やり直しても大丈夫。ここで確かめるのは、この2問についてです。
いまは、どんな感じ？（任意）
この話の振り返り記録
最初の答えと、見直したあとの答えをここにまとめます。
次は、どの「なぜ？」へ？
点数も、閉じた扉もありません。いつでも定義へ戻れます。
ここで読むのは学習用の論証と数値実験で、Leanの実行ではありません。先の解説ページでは、形式的な原文と説明を区別しています。