三角形四室、空き部屋ひとつ
正方形ホテルに同じ三角形が4組チェックイン。事件を解くのは空き部屋だった。
この話の式を見る
全8話の 7 話目
この話で持ち帰ること
三角形4枚を取り除くと、a² + b²が残る理由を言える。
一つずつ読めば大丈夫。時間制限はありません。困ったら、いつでも「わからない」を開けます。
読む前は、どんな感じ？（任意）
読む順番を見る
読みたいところへ直接進む
まず、言葉の意味から
直角三角形は、一つの角が90°の三角形。直角の向かいが斜辺c、残りの二辺がa、bです。90°より小さい角を鋭角といいます。
前の考え方が気になったら：消えたケーキの細切れ事件 · 角をなくした三角形
あやしい作戦
ピップは一辺a + bの正方形ホテルを建て、四隅を同じ直角三角形に貸した。
同じ直角三角形4枚の間に、一辺cの正方形が残る。角も90°か確かめよう。
見つかった手がかり
斜辺に囲まれた部屋が残る。ミカが角を点検すると、二つの鋭角の和は90°だから、部屋の角も90°。一辺cの正方形だ。
大きな正方形は(a + b)²。三角形4枚は4 × ab/2 = 2ab。
事件のひっくり返し
ホテル全体から三角形4室の面積を引く。空き部屋の面積はa² + b²。ピップ「空室からも家賃を取れるかな？」
三角形4枚だけを引く。中央の面積はc² = (a + b)² − 2ab = a² + b²。
数字を変えて実験
数を変えて、感覚をつかもう。数値の確認は、すべての値についての証明とは別です。
証明の一歩 1 / 3
一辺a + bの正方形に同じ直角三角形を4枚並べます。残る領域の四辺はc。直角三角形の二つの鋭角の和は90°なので、残る領域の角も90°です。
図は、表示した論証の手順を表します。数値の例だけで、仮定やすべての場合の証明の代わりにはしません。
一歩ずつ、証明しよう
主張と条件
ユークリッド平面の直角三角形で、正の二辺a、bと斜辺cはa² + b² = c²を満たします。
- 一辺a + bの正方形に同じ直角三角形を4枚並べます。残る領域の四辺はc。直角三角形の二つの鋭角の和は90°なので、残る領域の角も90°です。
- 全体の面積は(a + b)²。一枚の三角形はab/2だから、四枚は2abです。
- したがってc² = (a + b)² − 2ab = a² + b²。前に証明した展開公式が、ここで活躍します。
ピップが、また何か思いついた
項ごとに平方根を取って、a + b = cと言っていい？
選択肢の説明： いい。平方根は足し算の各項に配れる。
平方根は和に分配できません。√(9 + 16) = 5ですが、√9 + √16 = 7です。
選択肢の説明： だめ。二辺3、4なら斜辺は5で、7ではない。
そのとおり。関係しているのは平方です。指数2なら正の整数の解がある、というフェルマーとの対比にもなります。
どこまで、つながった？
小さな確認を2つしたあと、自分で振り返ります。ヒントを見ても、やり直しても大丈夫。ここで確かめるのは、この2問についてです。
いまは、どんな感じ？（任意）
この話の振り返り記録
最初の答えと、見直したあとの答えをここにまとめます。
次は、どの「なぜ？」へ？
点数も、閉じた扉もありません。いつでも定義へ戻れます。
ここで読むのは学習用の論証と数値実験で、Leanの実行ではありません。先の解説ページでは、形式的な原文と説明を区別しています。