消えたケーキの細切れ事件
大きな正方形ケーキを注文したら、請求書から細長い2切れが消えていた。
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この話で持ち帰ること
abの長方形を2枚見つけ、2abが出てくる理由を言える。
一つずつ読めば大丈夫。時間制限はありません。困ったら、いつでも「わからない」を開けます。
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まず、言葉の意味から
平方a²はa × aのこと。長方形の面積は横 × 縦。展開は、かけ算でできた式を和の形に書き直すことです。
「実数」って何？
数直線上に表せる数が実数です。整数、分数、√2のような数も含みます。ケーキの絵が正の長さを使っていても、計算の規則で示した公式は、この範囲の数に使えます。
前の考え方が気になったら：消えたおやつの請求書
あやしい作戦
ピップ「一辺がaたすbだから、面積はa²たすb²！」ミカは、くちばしに細長いパンくずを二つ発見した。
平方は、一辺かける一辺。(a + b)(a + b)を描こう。
見つかった手がかり
縦と横をaのところで切ると4区画。大きい正方形、細長い切れ、もう一つの細長い切れ、小さい正方形。
縦も横もaのところで切る。4区画はa²、ab、ba、b²。
事件のひっくり返し
細長い切れはどちらも面積ab。おまけではなく、初めからケーキの一部だった。ピップ、しぶしぶ返却。
細長い2枚は同じ面積。ab + ba = 2ab。ケーキが増えたわけじゃない。
数字を変えて実験
数を変えて、感覚をつかもう。数値の確認は、すべての値についての証明とは別です。
証明の一歩 1 / 3
平方の定義より、(a + b)² = (a + b)(a + b)。
図は、表示した論証の手順を表します。数値の例だけで、仮定やすべての場合の証明の代わりにはしません。
一歩ずつ、証明しよう
主張と条件
すべての実数a、bで(a + b)² = a² + 2ab + b²。面積の絵では、長さを0以上として考えます。
- 平方の定義より、(a + b)² = (a + b)(a + b)。
- 分配法則を2回使うと、a(a + b) + b(a + b) = a² + ab + ba + b²。
- 実数のかけ算ではba = ab。二つを合わせて2abです。この計算なら、負の値も扱えます。
ピップが、また何か思いついた
a = 3、b = 2なら、a² + b²は面積をいくつ忘れた？
選択肢の説明： 6。細長い切れ一つぶん。
3 × 2の切れは二つあります。一つ6で、合わせて12です。
選択肢の説明： 12。細長い切れ二つぶん。
そう。25 − (9 + 4) = 12 = 2 × 3 × 2。消えた切れが戻りました。
どこまで、つながった？
小さな確認を2つしたあと、自分で振り返ります。ヒントを見ても、やり直しても大丈夫。ここで確かめるのは、この2問についてです。
いまは、どんな感じ？（任意）
この話の振り返り記録
最初の答えと、見直したあとの答えをここにまとめます。
次は、どの「なぜ？」へ？
点数も、閉じた扉もありません。いつでも定義へ戻れます。
ここで読むのは学習用の論証と数値実験で、Leanの実行ではありません。先の解説ページでは、形式的な原文と説明を区別しています。